Operatii cu radical, Rationalizarea numerelor, Ecuatii irationale

5. PUTERI SI RADICALI

Puteri cu exponent natural:

aⁿ unde aI|R, nI|N;

a⁰=1;

a¹=a;

aⁿ = ;

a - baza puterii;

n - exponentul puterii;

(ab)ⁿ=aⁿbⁿ, a,bI|R, nI|N^*;

(a^m)ⁿ=a^mn, aI|R, m,nI|N^*;

a^m aⁿ=a^m+n, aI|R, m,nI|N^*;

, b a,bI|R, nI|N^*;

, aI|R^*, m,nI|N^*, m>n.

Puteri cu exponent intreg negativ:

a^-n= unde aI|R^*, nI|N;

restul proprietatilor se pastreaza.

Puteri cu exponent rational pozitiv:

, a 0, I

, a 0, ,I

, a,b 0, I

, a 0, b>0,  I

, a 0, , I

, a>0,  ,I , >.

Puteri cu exponent rational negativ:

, a>0, I

restul proprietatilor se pastreaza.

Functia putere cu exponent natural nenul:

f(x)=xⁿ,  f:|R |R, nI|N^*;

monotonia: ;

paritate: ;

semn: .

Functia putere cu exponent intreg negativ:

f(x)=x^-n,  f:|R- |R, nI|N^*;

monotonia: ;

paritate: ;

semn: .

Functia putere cu exponent rational:

f(x)==,  f:(0, ), I

daca >0 f strict crescatoare;

daca < f strict descrescatoare.

Radicalul unui numar pozitiv:

ecuatia xⁿ-a=0 (nI|N, n 2, aI|R, a>0) are o singura radacina reala pozitiva;

daca a>0, nI|N, n 2 se numeste radical de ordin n din a, numarul pozitiv a carui putere a n-a este a;

notatie x=;

notatie =;

=0;

;

Radicalul de ordin impar al unui numar negativ:

ecuatia xⁿ-a=0 (nI|N, n 2, n impar, aI|R, a<0) are o singura radacina reala negativa;

daca a<0, nI|N, n 2, n impar, se numeste radical de ordin n din a, numarul negativ a carui putere a n-a este a;

notatie x==;

Proprietatile radicalilor: m, n, kI m, n, k

P1)  , a,b

P2)  , a 0, b>0;

P3)  , a

P4)  ()^m =, a

P5)  =, a

P6)  , a

Operatii cu radicali:

scoaterea unui factor de sub semnul radical: se descompune numarul de sub radical in factori, se aplica proprietatile 1, 3 si 5;

introducerea unui factor sub semnul radical: se utilizeaza proprietatile 1, 3 si 5;

inmultirea radicalilor de acelasi ordin sau ordine diferite: se utilizeaza proprietatea 1 si 5;

, a₁, a₂, ., a_k

, a, b

impartirea radicalilor de acelasi ordin sau ordine diferite: se utilizeaza proprietatile 2 si 5;

, a 0, b>0;

, a 0, b>0;

rationalizarea numitorilor

operatia de eliminare a radicalilor de la numitorul fractiilor;

expresii conjugate:  - expresii cu radicali care prin inmultire dau o expresie fara radicali;

,  a, b

,  a, b

,  a, b

,  a, b 0, n impar;

Functia radical:

f(x)= , f:[0, ), nI|N, n

monotonia: f strict crescatoare pe [0,

f(x) xI

functia este bijectiva;

inversa ei este functia putere.

f(x)= , f:|R |R, nI|N, n 2, n impar;

Ecuatii irationale:

ecuatii care contin necunoscuta sub semnul radical;

rezolvarea consta in eliminarea radicalilor prin diferite transformari (ridicari la putere = cu ordinul radicalului, inmultire cu expresia conjugata), reducandu-le la ecuatii studiate;

conditii de existenta numai pentru radicali de ordin par : f(x) unde f(x) este o expresie in functie de x;